Rumus Dan Sifat Perkalian Titik (Dot Product) 2 Vektor Beserta Pola Soal Dan Pembahasan
Definisi dan Rumus Perkalian Titik Dua Vektor
Selain perkalian vektor dengan skalar, vektor juga sanggup dikalikan dengan vektor yang lainnya. Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor, yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Nah dalam artikel kali ini kita akan membahas mengenai perkalian titik dua buah vektor. Apa yang dimaksud dengan perkalian titik? Bagimana dengan rumus dan sifat-sifatnya? Untuk sanggup memahami perkalian titik, perhatikan gambar berikut ini.
Perkalian titik atau dot product dua buah vektor didefinisikan sebagai perkalian antara besar salah satu vektor (misalA) dengan komponen vektor kedua (B) pada arah vektor pertama (A). Pada gambar di atas, komponen vektor B pada arah vektor A adalah B cos α. Dari pengertian perkalian titik tersebut, maka rumus atau persamaan perkalian titik antara vektor A dan vektor B dapat dituliskan sebagai berikut.
A . B = AB cos α = |A||B| cos α | |||
Keterangan: | |||
α | = sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o | ||
A | = |A| besar vektor A | ||
B | = |B| besar vektor B | ||
Dari persamaan perkalian titik di atas maka sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor ialah skalar. Simbol dari perkalian titik ialah “.” (baca: dot). Karena hasil perkalian titik ialah skalar maka perkalian titik atau dot product disebut juga dengan perkalian skalar atau skalar product. Dalam perkalian titik ada tiga poin penting yang perlu kalian perhatikan.
1. | Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka |
A . B = 0 → cos 90o = 0 | |
2. | Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka |
A . B = AB → cos 0o = 1 | |
3. | Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (𝛼 = 180o) maka |
A . B = - AB → cos 180o = -1 |
Perkalian Titik Pada Vektor Satuan
Vektor satuan ialah vektor ruang yang telah diuraikan ke dalam sumbu X(i),Y(j) dan Z(k) yang besarnya satu satuan. Perhatikan gambar di atas. vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o karena nilai ketiga vektor tersebut ialah 1, maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut ialah sebagai berikut:
i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit) |
i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus) |
Dengan memakai hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:
A . B | = | (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk) |
A . B | = | Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk +Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk |
→ sebab i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka | ||
A . B | = | Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk |
A . B | = | Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk |
→ sebab i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka | ||
A . B | = | AxBx + AyBy + AzBz |
Dengan demikian sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian titik antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z) adalah sebagai berikut:
A | = | Axi + Ayj + Azk |
B | = | Bxi + Byj + Bzk |
Maka
A . B | = | AxBx + AyBy + AzBz |
Sifat-Sifat Perkalian Titik Vektor
Jika A, B dan C ialah sembarang vektor dan k ∈ R ialah skalar, maka sifat perkalian titik antara vektor vektor tersebut ialah sebagai berikut.
Perkalian titik mempunyai sifat komutatif, yaitu
A . B = B . A
Perkalian titik mempunyai sifat asosiatif, yaitu
(kA) . B = k(A . B) = A . (kB)
Dan terakhir, perkalian titik mempunyai sifat distributif, yaiut
A . (B + C) = A . B + A . C
Contoh Soal Perkalian Titik Dua Vektor dan Pembahasan
Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian titik dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa rujukan soal perkalian titik dua buah vektor beserta pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Sebuah balok berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya F sebesar 200 N dengan arah membentuk sudut 60° terhadap arah horisontal. Pada ketika balok berpindah 8 m, tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya F tersebut.
Penyelesaian:
Usaha sanggup didefinisikan sebagai perkalian titik antara gaya yang bekerja selama perpindahannya. Berarti sanggup diperoleh:
W = F . s
W = F . s cos θ
W = F s cos θ
W = 200 N . 8 m . cos 60°
W = 200 N . 8 m . ½
W = 800 Nm
Jadi, perjuangan yang dilakukan oleh gaya pada balok di tersebut ialah 800 joule ( 1 Nm = 1 joule)
Contoh Soal #2
Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan berikut ini.
A = 3i + 4j + 6k
B = 8i + 5j – 8k
Penyelesaian:
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B = 3 . 8 + 4 . 5 + 6 . (– 8)
A . B = 24 + 20 – 48
A . B = – 4
Contoh Soal #3
Diketahui vektor A = 2i + 5j + 3k dan B = i + 2j – 3k. Tentukan sudut yang dibuat antara kedua vektor tersebut.
penyelesaian
rumus perkalian titik antara vektor A dan B ialah sebagai berikut :
A . B = |A|.|B| cos α
Pertama kita tentukan besar masing-masing vektor satuan tersebut
|A| = √(22 + 52 + 32) |A| = √38 | |B| = √(12 + 22 + -32) |B| = √14 |
Kedua kita tentukan besar perkalian titik vektor satuannya sebagai berikut
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B = 2 . 1 + 5 . 2 + 3 . (– 3)
A . B = 2 + 10 – 9
A . B = 3
Kemudian kita kembali ke rumus perkalian titik sebelumnya
A . B | = |A|.|B| cos α |
3 | = (√38)( √14) cos α |
3 | = √532 cos α |
3 | = 23,07 cos α |
cos α | = 3/23,07 |
cos α | = 0,13 |
α | ≈ 82,53o |
Dengan demikian sudut yang dibuat antara vektor A dan vektor B adalah 83o.
Demikianlah artikel wacana pengertian, rumus dan sifat perkalian titik (dot product) dua vektor beserta rujukan soal cara memilih hasil perkalian titik dan sudut antara dua vektor satuan. Semoga sanggup bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel berikutnya.