Rumus Dan Sifat Perkalian Silang (Cross Product) 2 Vektor Beserta Pola Soal Dan Pembahasan
Definisi dan Rumus Perkalian Silang Dua Vektor
Pada dasarnya, perkalian vektor itu dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar dan perkalian antara vektor dengan vektor. Lalu perkalian antara vektor dengan vektor dibedakan menjadi dua jenis yaitu perkalian titik (dot product) atau sering disebut dengan perkalian skalar dan perkalian silang (cross product). Perkalian silang inilah yang sejatinya disebut sebagai perkalian vektor. Mengapa demikian? Untuk mengetahui jawabannya simak baik-baik klarifikasi berikut ini.
Perkalian silang atau cross product dua buah vektor, misalkan antara vektor A dan vektor B yang dituliskan sebagai A × B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. Pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
A × B | = | C | ||
|A × B| | = | AB sin α |
Keterangan: | ||
α | = | sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ 𝛼 ≤ 180o |
C | = | vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B |
|A x B| | = | besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B |
Dari persamaan perkalian silang di atas, sanggup disimpulkan bahwa hasil perkalian silang dua buah vektor yaitu sebuah vektor gres yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibuat oleh dua vektor tersebut. Simbol dari perkalian silang yaitu “×” (baca: cross). Karena hasil perkalian silang yaitu vektor maka perkalian silang atau cross product disebut juga dengan perkalian vektor atau vector product. Untuk memilih arah vektor hasil perkalian silang sanggup dipakai hukum ajun sebagai berikut.
Dengan memakai kaidah tangan kanan, arah vektor C hasil perkalian A terhadap B atau sanggup kita tulis C = A × B yaitu tegak lurus ke atas tidak menembus bidang yang dibuat vektor A dan B. Perkalian vektor A × B ditunjukkan pada arah lipatan empat jari yaitu dari A ke B. Sedangkan ibu jari mengatakan arah vektor C hasil perkalian antara vektor A terhadap vektor B. Konsep yang sama juga berlaku pada perkalian vektor B terhadap A.
Arah vektor C hasil perkalian B terhadap A atau kita tulis sebagai C = B× A yaitu tegak lurus ke bawah menembus bidang yang dibuat vektor A dan B. Perkalian vektor B × A ditunjukkan pada arah lipatan empat jari dari gengaman ajun yang dibalik ke bawah yang mengatakan arah dari B ke A. Dan ibu jari mengatakan arah vektor C hasil perkalian antara vektor B terhadap A.
Di dalam perkalian silang (cross product) antara dua vektor ada beberapa point penting yang perlu kalian ingat. Point-point penting tersebut yaitu sebagai berikut.
1 | Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga |
A x B ≠ B x A | |
2 | Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu |
A x B = - B x A | |
3 | Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (𝛼 = 90o) maka |
|A x B| = AB → sin 90o = 1 | |
4 | Jika kedua vektor A dan B searah (𝛼 = 0o) maka |
|A x B| = 0 → sin 0o = 0 | |
5 | Jika kedua vektor A dan B berlawanan arah (𝛼 = 180o) maka |
|A x B| = 0 → sin 180o = 0 |
Perkalian Silang Pada Vektor Satuan
Terdapat dua konsep perkalian silang pada vektor satuan yang perlu kalian pahami. Konsep pertama yaitu perkalian silang antara vektor satuan yang sejenis (ex. i × i), dimana hasil perkalian silang untuk vektor-vektor yang sejenis, alhasil yaitu nol. Perhatikan perhitungannya berikut ini.
i × i = 1.1 sin 0o = 0 |
j × j = 1.1 sin 0o = 0 |
k × k = 1.1 sin 0o = 0 |
Dan konsep yang kedua yaitu perkalian silang antara vektor satuan yang tidak sejenis (ex. i × j), dimana hasil sanggup ditentukan dengan memakai siklus perkalian silang vektor satuan menyerupai yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Dengan memakai konsep perkalian silang antara vektor satuan sejenis dan juga siklus perkalian silang di atas, kita sanggup memilih hasil perkalian silang dua vektor satuan dengan sangat mudah. Misalkan terdapat dua vektor berikut ini.
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai berikut
A × B | = | (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) |
A × B | = | Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azkx Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk |
→ alasannya yaitu i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka | ||
A × B | = | 0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk xByj + 0 |
A × B | = | Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj |
→ dengan memakai siklus perkalian silang maka | ||
A × B | = | AxByk – AxBzj – AyBxk + AyBzi + AzBxj – AzByi |
A × B | = | (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k |
Dengan demikian, sanggup kita simpulkan bahwa hasil perkalian silang antara dua vektor satuan dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z)adalah sebagai berikut:
A | = | Axi + Ayj + Azk |
B | = | Bxi + Byj + Bzk |
maka
A × B | = | (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k | |
Jika kalian masih merasa kesulitan dalam menghitung perkalian silang vektor satuan dengan memakai siklus di atas, ada cara lain yang lebih gampang dan simple dalam mencari hasil perkalian silang dua vektor satuan. Cara tersebut yaitu dengan menggunakan metode determinan. Dengan memakai metode ini, kalian tidak perlu repot-repot menghafal rumus di atas. Perhatikan denah berikut ini.
Dengan memakai metode determinan tersebut, maka hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B di atas yaitu sebagai berikut.
A × B | = | i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz |
A × B | = | (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k |
Bagaimana? Lebih simple dan gampang dengan metode determinan bukan? Cara ini merupakan cara yang paling efektif dan efisien dalam menghitung perkalian silang dua vektor satuan.
Sifat-Sifat Perkalian Silang Vektor
Jika A, B dan C yaitu sembarang vektor dan k ∈ R yaitu skalar, maka sifat perkalian silang antara vektor vektor tersebut yaitu sebagai berikut.
Perkalian silang mempunyai sifat antikomutatif, yaitu
A × B ≠ B × A
Perkalian silang mempunyai sifat asosiatif, yaitu
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)
Dan terakhir, perkalian silang mempunyai sifat distributif, yaiut
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C)
Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor dan Pembahasan
Untuk lebih memahami penerapan rumus perkalian silang dua buah vektor, silahkan kalian pahami beberapa rujukan soal perkalian silang dua buah vektor beserta pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal #1
Vektor A = 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.
Penyelesaian:
A × B = AB sin α
A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°
A × B = 10 N. 20 cm . ½
A × B = 100 Nm
Contoh Soal #2
Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k. Kemudian tentukan besar sudut yang dibuat (diapit) kedua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Hasil perkalian
A × B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
A × B = (1×2 – 1×1)i + (1×3 – 1×2)j + (1×1 – 1×3)k
A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k
A × B = i + j – 2k
Sudut yang dibentuk
|A × B| | = AB sin α |
A | = √(12 + 12 + 12) = √3 |
B | = √(32 + 12 + 22) = √14 |
|A × B| | = √{(12 + 12 + (-22)} = √6 |
maka | |
√6 | = (√3)(√14) sin α |
√6 | = √42 sin α |
sin α | = √6/√42 |
sin α | = 0,378 |
α | ≈ 22,21o |
Demikianlah artikel perihal pengertian, rumus dan sifat perkalian silang (cross product) dua vektor beserta rujukan soal cara memilih hasil perkalian silang dan sudut yang dibuat antara dua vektor satuan. Semoga sanggup bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel berikutnya.