Hukum Newton Pada Gerak Benda Yang Dihubungkan 2 Katrol Di Bidang Miring
Artikel sebelumnya telah membahas wacana penerapan aturan Newton pada gerak dua benda yang dihubungkan 2 katrol di bidang datar. Dua katrol tersebut yakni katrol tetap dan katrol bebas, benda pertama terletak pada bidang datar dan benda kedua dalam posisi menggantung bersama dengan katrol bebas. Lalu bagaimana bila benda pertama terletak pada bidang miring? Seperti apa persamaan geraknya?
Konsep geraknya tentu sama dengan konsep gerak dua benda yang dihubungkan 1 katrol di bidang miring, dimana gaya berat benda pertama mempunyai dua komponen pada sumbu-X dan sumbu-Y. Pada kesempatan kali ini, kita akan mencoba menguraikan persamaan gerak dua benda yang dihubungkan 2 katrol (katrol tetap dan bebas) di bidang miring licin dan kasar. Simak klarifikasi berikut ini.
#1 Bidang Miring Licin
Dua balok 1 dan 2 dihubungkan seutas tali melalui dua sistem katrol. Balok 1 bermassa m1 dihubungkan tali pada katrol tetap terletak pada bidang miring licin dengan sudut kemiringan θ. Sedangkan benda 2 yang bermassa m2 digantungkan pada katrol bebas bergerak. Diagram gaya yang bekerja pada kedua balok diperlihatkan ibarat pada gambar di atas.
Jika kedua katrol kondisinya licin serta massa katrol dan tali diabaikan, kemudian balok 1 bergerak ke atas sejajar bidang miring dengan percepatan a1 dan benda 2 bergerak ke bawah dengan percepatan a2, maka resultan gaya yang bekerja pada masing-masing balok berdasarkan Hukum Newton yaitu sebagai berikut.
Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 1
ΣF1 = m1a1
T1 – w1 sin θ = m1a1
T1 – m1g sin θ = m1a1
T1 = m1a1 + m1g sin θ ..…….….. Pers. (1)
Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 2
ΣF2 = m2a2
w2 – T2 – T2 = m2a2
w2 – 2T2 = m2a2
m2g – 2T2 = m2a2 .…….. Pers. (2)
Karena kita mengabaikan massa katrol dan tali serta menganggap katrol licin tepat (tidak ada tabrakan sama sekali), maka antara katrol dan tali tidak ada momen inersia yang menghipnotis gaya tegangan tali. Dengan demikian, besar gaya tegangan tali yang bekerja pada balok 1 dan 2 yaitu sama. Sehingga apabila kita subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) kita peroleh.
m2g – 2T2 = m2a2
m2g – 2(m1a1 + m1g sin θ) = m2a2
m2g – 2m1a1 – 2m1g sin θ = m2a2
2m1a1 + m2a2 = m2g – 2m1g sin θ .…….. Pers. (3)
Karena besar percepatan gerak benda yang dihubungkan katrol tetap dan bebas yaitu a2 = ½ a1, maka persamaan (3) sanggup kita tulis ulang sebagai berikut.
2m1a1 + m2a2 = m2g – 2m1g sin θ
2m1a1 + m2(½ a1) = m2g – 2m1g sin θ
2m1a1 + ½ m2a1 = m2g – 2m1g sin θ
Kedua ruas kita kalikan dengan 2
4m1a1 + m2a1 = 2m2g – 4m1g sin θ
a1(4m1 + m2) = g(2m2 – 4m1 sin θ)
a1 = g(2m2 – 4m1 sin θ)/(4m1 + m2) .…….. Pers. (4)
karena a2 = ½ a1, maka besar percepatan pada balok 2 yaitu sebagai berikut.
a2 = ½ a1
a2 = ½{g(2m2 – 4m1 sin θ)/(4m1 + m2)}
a2 = g(m2 – 2m1 sin θ)/(4m1 + m2) .…….. Pers. (5)
Dengan demikian, besar percepatan balok 1 dan balok 2 untuk kondisi bidang miring licin, sanggup dihitung dengan memakai rumus sebagai berikut.
a1 | = | (2m2 – 4m1 sin θ)g | |
4m1 + m2 |
a2 | = | (m2 – 2m1 sin θ)g | |
4m1 + m2 |
Dari rumus-rumus percepatan di atas, kita sanggup memilih rumus gaya tegangan tali yang bekerja pada kedua balok yaitu dengan mensubtitusikan persamaan (4) ke persamaan (1). Persamaan gaya tegangan tali yang diperoleh yaitu sebagai berikut.
T1 = m1a1 + m1g sin θ
T1 = m1{g(2m2 – 4m1 sin θ)/(4m1 + m2)} + m1g sin θ
T1 = {(2m1m2g – 4m12g sin θ)/(4m1 + m2)} + m1g sin θ
T1 = (2m1m2g – 4m12g sin θ + 4m12g sin θ + m1m2g sin θ)/(4m1 + m2)
T1 = (2m1m2g + m1m2g sin θ)/(4m1 + m2)
T1 = m1m2g (2 + sin θ)/(4m1 + m2) .…….. Pers. (6)
Dengan demikian, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada kedua balok sanggup kita hitung dengan memakai rumus sebagai berikut.
T1 | = | T2 | = | (2 + sin θ)m1m2g | |
4m1 + m2 |
Keterangan: | ||
w1 | = | Gaya berat benda 1 N) |
w2 | = | Gaya berat benda 2 (N) |
T1 | = | Gaya tegangan tali pada benda 1 terhadap katrol tetap (N) |
T2 | = | Gaya tegangan tali pada benda 2 pada katrol bebas (N) |
m1 | = | Massa benda 1 (kg) |
m2 | = | Massa benda 2 (kg) |
a1 | = | Percepatan benda 1 (m/s2) |
a2 | = | Percepatan benda 2 (m/s2) |
θ | = | Sudut kemiringan bidang miring |
g | = | Percepatan gravitasi bumi (m/s2) |
#2 Bidang Miring Kasar
Jika kalian sudah paham wacana bagaimana caranya memilih rumus percepatan dan tegangan tali untuk gerak benda yang dihubungkan katrol tetap dan bebas di bidang miring licin, kemudian bagaimana bila kondisi bidang miring yaitu kasar? Karena kasar, tentu kita memperhitungkan keberadaan gaya gesek yang bekerja antara permukaan benda atau balok 1 dengan bidang miring.
Gaya gesek dipengaruhi oleh gaya normal dimana gaya normal ini bekerja dalam arah sumbu-Y, sehingga pada kondisi ini kita akan menguraikan resultan gaya pada sumbu-Y untuk balok 1. Jika besar koefisien gesek antara permukaan balok 1 dengan bidang miring adalah μ, benda 2 bergerak ke bawah dengan percepatan a1, sementara benda 1 bergerak ke atas sejajar bidang dengan percepatan a2, maka persamaan gerak kedua benda berdasarkan aturan Newton yaitu sebagai berikut.
Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 1
ΣF1Y = m1a1
N – w1 cos θ = m1a1
N – m1g cos θ = m1a1
Karena tidak terjadi gerak dalam arah sumbu-Y, maka a1 = 0 sehinga
N – m1g cos θ = 0
N = m1g cos θ .…….. Pers. (7)
ΣF1X = m1a1
T1 – w1 sin θ – f = m1a1
T1 – w1 sin θ – μN = m1a1
T1 – m1g sin θ – μN = m1a1
Karena N = m1g cos θ maka
T1 – m1g sin θ – μm1g cos θ = m1a1
T1 = m1a1 + m1g sin θ + μm1g cos θ .…….. Pers. (8)
Resultan Gaya yang Bekerja pada Balok 2
ΣF2 = m2a2
w2 – 2T2 = m2a2
m2g – 2T2 = m2a2 .…….. Pers. (9)
karena T2 = T1, maka apabila kita subtitusikan persamaan (8) ke persamaan (9), kita peroleh
m2g – 2T2 = m2a2
m2g – 2(m1a1 + m1g sin θ + μm1g cos θ) = m2a2
m2g – 2m1a1 – 2m1g sin θ – 2μm1g cos θ = m2a2
2m1a1 + m2a2 = m2g – 2m1g sin θ – 2μm1g cos θ .…….. Pers. (10)
Karena a2 = ½ a1, maka persamaan (10) menjadi
2m1a1 + m2(½ a1) = m2g – 2m1g sin θ – 2 μm1g cos θ
2m1a1 + ½ m2a1 = m2g – 2m1g sin θ – 2μm1g cos θ
Ruas kiri dan kanan kita kalikan 2
4m1a1 + m2a1 = 2m2g – 4m1g sin θ – 4μm1g cos θ
a1(4m1+ m2) = g(2m2 – 4m1 sin θ – 4μm1 cos θ)
a1 = g(2m2 – 4m1 sin θ – 4μm1 cos θ)/(4m1+ m2) .…….. Pers. (11)
karena a2 = ½ a1, maka besar percepatan pada balok 2 yaitu sebagai berikut.
a2 = ½ a1
a2 = ½{g(2m2 – 4m1 sin θ – 4μm1 cos θ)/(4m1+ m2)}
a2 = g(m2 – 2m1 sin θ – 2μm1 cos θ)/(4m1+ m2) .…….. Pers. (12)
Dengan demikian, rumus percepatan balok 1 dan balok 2 untuk kondisi bidang miring agresif yaitu sebagai berikut.
a1 | = | (2m2 – 4m1 sin θ – 4μm1 cos θ)g | |
4m1 + m2 |
a2 | = | (m2 – 2m1 sin θ – 2μm1 cos θ)g | |
4m1 + m2 |
Besarnya gaya tegangan tali sanggup kita tentukan dengan mensubtitusikan persamaan (12) ke persamaan (9) sebagai berikut.
m2g – 2T2 = m2a2
m2g – 2T2 = m2{g(m2 – 2m1 sin θ – 2μm1 cos θ)/(4m1+ m2)}
m2g – 2T2 = (m22g – 2m1m2g sin θ – 2μm1m2g cos θ)/(4m1+ m2)
2T2 = m2g – {(m22g – 2m1m2g sin θ – 2μm1m2g cos θ)/(4m1+ m2)}
2T2 = (4m1m2g + m22g – m22g + 2m1m2g sin θ + 2μm1m2g cos θ)/(4m1+ m2)
2T2 = (4m1m2g + 2m1m2g sin θ + 2μm1m2g cos θ)/(4m1+ m2)
T2 = (2m1m2g + m1m2g sin θ + μm1m2g cos θ)/(4m1+ m2)
T2 = m1m2g(2 + sin θ + μ cos θ)/(4m1+ m2) .…….. Pers. (13)
Jadi, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada kedua balok untuk kondisi bidang miring kasar, sanggup kita hitung dengan memakai rumus sebagai berikut.
T1 | = | T2 | = | (2 + sin θ + μ cos θ)m1m2g | |
4m1 + m2 |
Keterangan: | ||
w1 | = | Gaya berat benda 1 N) |
w2 | = | Gaya berat benda 2 (N) |
N | = | Gaya normal benda 1 (N) |
f | = | Gaya gesek (N) |
T1 | = | Gaya tegangan tali pada benda 1 terhadap katrol tetap (N) |
T2 | = | Gaya tegangan tali pada benda 2 pada katrol bebas (N) |
μ | = | Koefisien gesek antara benda 1 dengan bidang |
m1 | = | Massa benda 1 (kg) |
m2 | = | Massa benda 2 (kg) |
a1 | = | Percepatan benda 1 (m/s2) |
a2 | = | Percepatan benda 2 (m/s2) |
θ | = | Sudut kemiringan bidang miring |
g | = | Percepatan gravitasi bumi (m/s2) |
Demikianlah artikel wacana penerapan Hukum Newton pada gerak dua benda yang dihubungkan dua katrol (tetap dan bebas) di bidang miring licin atau agresif (benda 1 di bidang miring dan benda 2 menggantung) lengkap dengan gambar ilustrasi dan garis-garis gayanya. Semoga sanggup bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, abjad maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel berikutnya.