Persamaan Gerak Benda Yang Dihubungkan 3 Katrol (Tetap Dan Bebas)
Gambar di bawah ini mengilustrasikan tiga buah benda, anggap balok 1, 2 dan 3 yang dihubungkan seutas tali melalui tiga sistem katrol. Balok 1 bermassa m1 dan balok 2 bermassa m2 dihubungkan pada katrol tetap sedangkan balok 3 yang bermassa m3 dihubungkan pada katrol bebas bergerak. Apabila katrol licin dan massanya diabaikan serta m3 > m1 + m2 maka balok 1 dan 2 akan bergerak ke atas sementara itu balok 3 akan bergerak ke bawah.
Nah pada sistem yang bergerak, tentunya ada percepatan dan juga gaya tegangan tali yang bekerja. Lalu tahukah kalian bagaimana cara memilih besar percepatan masing-masing balok serta gaya tegangan talinya? Untuk sanggup menjawab pertanyaan tersebut, silahkan kalian simak secara cermat klarifikasi berikut ini.
#1 Menentukan Persamaan Gerak Benda Berdasarkan Hukum Newton
Dalam memilih persamaan gerak ketiga balok menurut Hukum Newton, tentu saja yang perlu untuk dilakukan pertama kali ialah melukiskan diagram gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing benda. Berikut ini dalah gambar diagram gaya yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3. Coba kalian perhatikan dan pahami dengan seksama.
Berdasarkan gambar garis-garis gaya di atas, kita sanggup memilih persamaan gerak ketiga balok tersebut. Persamaan gerak ini diperoleh dengan cara mencari resultan gaya pada masing-masing balok menurut Hukum III Newton. Berikut ini ialah resultan gaya pada balok 1, 2 dan 3.
Resultan Gaya pada balok 1
ΣF1 = m1a1
Karena balok 1 bergerak ke atas, maka gaya yang arahnya ke atas berharga faktual sedangkan gaya yang arahnya ke bawah berharga negatif.
T1 – w1 = m1a1
T1 – m1g = m1a1
T1 = m1a1 + m1g ………. Pers. (1)
Resultan Gaya pada balok 2
ΣF2 = m2a2
Karena balok 2 bergerak ke atas sama ibarat balok 1, maka gaya yang arahnya ke atas berharga faktual sedangkan gaya yang arahnya ke bawah berharga negatif.
T2 – w2 = m2a2
T2 – m2g = m2a2
T2 = m2a2 + m2g ………. Pers. (2)
Resultan Gaya pada balok 3
ΣF3 = m3a3
Karena balok 3 bergerak ke bawah, maka gaya yang arahnya ke bawah berharga faktual sedangkan gaya yang arahnya ke atas berharga negatif.
W3 – T3 – T3 = m3a3
w3 – 2T3 = m3a3
m3g – 2T3 = m3a3 ………. Pers. (3)
#2 Menentukan Persamaan Percepatan Gerak Benda
Dalam memilih kekerabatan antara a1, a2 dan a3, kita sanggup memakai rumus jarak pada gerak lurus berubah beraturan atau GLBB. Lalu bagaimana cara memakai rumus jarak dalam memilih kekerabatan ketiga percepatan tersebut? Coba kalian amati gambar di bawah ini.
Gambar sebelah kiri mengatakan keadaan mula-mula sistem. Balok 3 yang massanya lebih besar dari massa balok 1 ditambah massa balok 2 (m3 > m1 + m2) ditahan dengan tangan. Pada kondisi ini, ketiga balok diam. Kemudian, apabila balok 3 dilepaskan maka ketiga balok akan bergerak. Balok 1 dan 2 bergerak ke atas, sementara itu balok 3 bergerak ke bawah.
Gambar sebelah kanan menampilkan bagan gerak ketiga balok. Selama selang waktu t, balok 1 bergerak ke atas menempuh titik A ke titik B dengan percepatan a1, balok 2 bergerak ke atas menempuh titik E ke titik F dengan percepatan a2, sedangkan balok 3 bergerak ke bawah menempuh titik C ke titik D dengan percepatan a3. Apabila panjang AB = s1 dan panjang EF = s2, maka panjang CD = ½(s1 + s2). Dengan memakai rumus jarak pada GLBB, kita peroleh persamaan berikut.
Jarak yang ditempuh balok 1
s1 = v0t + ½ a1t2
Karena balok 1 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga
s1 = ½ a1t2 ………. Pers. (7)
Jarak yang ditempuh balok 2
s2 = v0t + ½ a2t2
Karena balok 2 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga
s2 = ½ a2t2 ………. Pers. (8)
Jarak yang ditempuh balok 3
½(s1 + s2) = v0t + ½ a3t2
Karena balok 3 mula-mula diam, maka v0 = 0, sehingga
½(s1 + s2) = ½ a3t2 ………. Pers. (9)
Apabila kita subtitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (9), kita dapatkan persamaan berikut ini.
½(s1 + s2) = ½ a3t2
½(½ a1t2 + ½ a2t2) = ½ a3t2
Ruas kiri dan kanan kita kalikan 2
½ a1t2 + ½ a2t2 = a3t2
a3t2 = ½ (a1t2 + a2t2)
Ruas kiri dan kanan kita bagi dengan t2
a3 = ½ (a1 + a2) ………. Pers. (10)
Dengan demikian, besar percepatan balok 3 sama dengan setengah kali jumlah percepatan balok 1 dengan percepatan balok 2.
#3 Menentukan Besar Percepatan dan Gaya Tegangan Tali
Karena kekerabatan antara a1, a2 dan a3 sudah kita peroleh, maka kita sanggup dengan gampang memilih rumus percepatan masing-masing balok dan juga gaya tegangan talinya. Namun, sebelum kita sanggup memilih rumus percepatan pada balok 1, 2 dan 3, kita harus terlebih dahulu mencari rumus gaya tegangan tali yang bekerja pada ketiga balok tersebut.
Besar gaya tegangan tali sanggup kita tentukan dengan memilih rumus percepatan dari persamaan (1), (2) dan (3). Kemudian tiga persamaan yang diperoleh, kita hubungkan dengan persamaan (10). Agar tidak bingung, perhatikan uraian berikut ini.
Rumus percepatan dari persamaan (1)
T1 = m1a1 + m1g
m1a1 = T1 – m1g
a1 | = | T1 – m1g | ………. Pers. (11) |
m1 |
Rumus percepatan dari persamaan (2)
T2 = m2a2 + m2g
m2a2 = T2 – m2g
a2 | = | T2 – m2g | ………. Pers. (12) |
m2 |
Rumus percepatan dari persamaan (3)
m3g – 2T3 = m3a3
m3a3 = m3g – 2T3
a3 | = | m3g – 2T3 | ………. Pers. (13) |
m3 |
Apabila kita subtitusikan persamaan (11), (12) dan (13) ke persamaan (10), kita dapatkan persamaan berikut.
a3 = ½ (a1 + a2)
m3g – 2T3 | = | 1 | ( | T1 – m1g | + | T2 – m2g | ) | |
m3 | 2 | m1 | m2 |
Kita kalikan ruas kanan dan kiri dengan 2
2m3g – 4T3 | = | T1 – m1g | + | T2 – m2g | |
m3 | m1 | m2 |
2m3g – 4T3 | = | m2T1 – m1m2g + m1T2 – m1m2g | |
m3 | m1m2 |
2m3g – 4T3 | = | m2T1 + m1T2 – 2m1m2g | |
m3 | m1m2 |
Dengan memakai sistem perkalian silang, maka persamaan di atas menjadi
2m1m2m3g – 4m1m2T3 = m2m3T1 + m1m3T2 – 2m1m2 m3g
Dalam kasus ini, kita mengabaikan massa katrol dan tali serta menganggap katrol licin tepat (tidak ada ukiran sama sekali). Oleh sebab itu, antara katrol dengan tali tidak ada momen inersia yang mempengaruhi gaya tegangan tali sehingga besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada balok 1, 2 dan 3 ialah sama.
T1 = T2 = T3 = T
Dengan demikian persamaan di atas kita tulis ulang menjadi ibarat berikut.
2m1m2m3g – 4m1m2T = m2m3T + m1m3T – 2m1m2 m3g
m2m3T + m1m3T + 4m1m2T = 2m1m2m3g + 2m1m2 m3g
m2m3T + m1m3T + 4m1m2T = 4m1m2m3g
T(m2m3 + m1m3 + 4m1m2) = 4m1m2m3g
T = 4m1m2m3g/(m2m3 + m1m3 + 4m1m2)
T = 4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (14)
Jadi, besarnya gaya tegangan tali yang bekerja pada ketiga balok sanggup kita tentukan dengan memakai rumus sebagai berikut.
T | = | 4m1m2m3g | ||
4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
Apabila rumus gaya tegangan tali sudah diketahui, maka kita sanggup memilih rumus percepatan untuk balok 1, 2 dan 3 dengan mensubtitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan (1), (2) atau (3). Berikut ini ialah perhitungan untuk memilih besar percepatan a1, a2 dan a3.
Rumus percepatan balok 1 (a1)
T1 = m1a1 + m1g
4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = m1a1 + m1g
m1a1 = {4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)} – m1g
m1a1 = (4m1m2m3g – 4m12m2g – m12m3g – m1m2m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)
m1a1 = (3m1m2m3g – 4m12m2g – m12m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)
Kedua ruas kita bagi dengan m1
a1 = (3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (15)
Jadi, besarnya percepatan balok 1 sanggup kita hitung dengan rumus sebagai berikut.
a1 | = | 3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g | ||
4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
Rumus percepatan balok 2 (a2)
T2 = m2a2 + m2g
4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) = m2a2 + m2g
m2a2 = {4m1m2m3g/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)} – m2g
m2a2 = (4m1m2m3g – 4m1m22g – m1m2m3g – m22m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)
m2a2 = (3m1m2m3g – 4m1m22g – m22m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3)
Kedua ruas kita bagi dengan m2
a2 = (3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g)/(4m1m2 + m1m3 + m2m3) ………. Pers. (16)
Jadi, besarnya percepatan balok 2 sanggup kita tentukan dengan rumus sebagai berikut.
a2 | = | 3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g | ||
4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
Rumus percepatan balok 3 (a3)
Apabila kita subtitusikan persamaan (15) dan (16) ke persamaan (10), maka kita dapatkan rumus percepatan untuk balok 3, yaitu sebagai berikut.
a3 = ½ (a1 + a2)
a3 | = | 1 | ( | 3m2m3g – 4m1m2g – m1m3g | + | 3m1m3g – 4m1m2g – m2m3g | ) | |
2 | 4m1m2 + m1m3 + m2m3 | 4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
a3 | = | 1 | ( | 2m1m3g + 2m2m3g – 8m1m2g | ) | |
2 | 4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
a3 | = | m1m3g + m2m3g – 4m1m2g | ………. Pers. (17) |
4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
Jadi, besarnya percepatan balok 3 sanggup kita tentukan dengan rumus sebagai berikut.
a3 | = | m1m3g + m2m3g – 4m1m2g | ||
4m1m2 + m1m3 + m2m3 |
Keterangan: | ||
w1 | = | Gaya berat benda 1 N) |
w2 | = | Gaya berat benda 2 (N) |
w3 | = | Gaya berat benda 3 (N) |
T1 | = | Gaya tegangan tali pada benda 1 terhadap katrol tetap (N) |
T2 | = | Gaya tegangan tali pada benda 2 terhadap katrol tetap (N) |
T3 | Gaya tegangan tali pada benda 2 pada katrol bebas (N) | |
m1 | = | Massa benda 1 (kg) |
m2 | = | Massa benda 2 (kg) |
m3 | = | Massa benda 3 (kg) |
a1 | = | Percepatan benda 1 (m/s2) |
a2 | = | Percepatan benda 2 (m/s2) |
a3 | = | Percepatan benda 3 (m/s2) |
g | = | Percepatan gravitasi bumi (m/s2) |
Demikianlah artikel ihwal cara memilih rumus percepatan dan gaya tegangan tali pada gerak tiga benda yang dihubungkan tiga katrol (tetap dan bebas) lengkap dengan gambar gambaran dan garis-garis gayanya. Semoga sanggup bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, karakter maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel berikutnya.