Contoh Soal Perkalian Vektor Titik (Dot Product) Dan Pembahasannya
Seperti yang telah kalian ketahui, operasi vektor tidak hanya terbatas pada penjumlahan dan pengurangan vektor saja, operasi perkalian juga berlaku pada vektor. Perkalian vektor dibedakan menjadi tiga macam, antara lain perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik (dot product), dan perkalian silang (cross product).
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan mempelajari beberapa pola soal perihal perkalian titik. Namun sebelum itu, kita ulas sedikit mengenai konsep perkalian titik (dot product) vektor berikut ini.
Perkalian Titik Vektor (Dot Product)
Perkalian titik antara dua vektor A dan vektor B merupakan besaran skalar yang besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor itu terhadap cosinus sudut apitnya. Perhatikan gambar di bawah ini.
θ adalah sudut apit antara dua vektor. Perkalian titik antara vektor A dan B dituliskan sebagai berikut.
A . B = |A||B| cos θ
Keterangan:
θ = sudut yang dibuat oleh dua vektor A dan B dengan 0o ≤ θ ≤ 180o
|A| = besar vektor A
|B| = besar vektor B
AB cos θ = BA cos θ maka A . B = B . A. Perkalian titik dua vektor disebut juga sebagai perkalian skalar.
Untuk memudahkan perhitungan perkalian titik dua vektor, perlu dipahami sifat-sifat perkalian titik sesama vektor. Perkalian titik antara dua vektor satuan akan bernilai satu bila kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol bila kedua vektor tersebut tidak sejenis.
i . i = j . j = k . k = (1) (1) cos 0o = 1
i . j = i . k = j . k = (1) (1) cos 90o = 0
Sudut antara vektor satuan i dan i yaitu 0o maka (i) (i) cos 0o = 1, sedangkan sudut antara vektor satuan i dan j yaitu 90o maka (i) (j) cos 90o = 0. Ketentuan ini memenuhi sifat perkalian titik sesama vektor. Secara matematis, perkalian titik vektor A dan B sanggup diperoleh sebagai berikut.
A . B = (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Contoh Soal:
Vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (i + j + k) N dan s = (3i + 4j + 6k) m. tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya!
Penyelesaian:
Diketahui:
F = (i + j + k)
s = (3i + 4j + 6k)
ditanya: perjuangan (W)
Jawab:
Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi
W = F . s
W = (i + j + k) . (3i + 4j + 6k)
W = (1)(3) + (1)(4) + (1)(6)
W = 3 + 4 + 6
W = 13
Jadi perjuangan yang dilakukan oleh gaya tersebut yaitu 13 joule.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = 2i + 3j + 5k dan B = 4i + 2j – k
Jawab:
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)
A . B = 8 + 6 – 5
A . B = 9
2. Balok yang berada pada bidang datar licin ditarik oleh gaya 200 N dengan arah membentuk sudut 60o terhadap arah horizontal ibarat pada gambar di bawah ini.
Pada ketika balok berpindah 8 m maka tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya F.
Penyelesaian:
Usaha sanggup didefinisikan sebagai perkalian titik gaya yang bekerja selama perpindahannya dengan perpindahannya tersebut. Berarti sanggup diperoleh hubungan sebagai berikut.
W = F . s
W = |F||s| cos 60o
W = (200)(8)(1/2)
W = 800 joule
Usaha merupakan besaran skalar.
3. Tentukanlah hasil perkalian titik antara dua vektor satuan A = i + 2j + 3k dan B = 3i + 2j – k
Jawab:
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A . B = (1)(3) + (2)(2) + (3)(-1)
A . B = 3 + 4 – 3
A . B = 4
4. Diketahui 2 buah vektor yaitu sebagai berikut
a = 4i + 3j – k
b = -i – 2j + 3k
Hitunglah sudut antara vektor a dan vektor b.
Penyelesaian:
Besar vektor a yaitu sebagai berikut.
|a| = √[(4)2 + (3)2 + (-1)2]
|a| = √(16 + 9 + 1)
|a| = √26
Besar vektor b yaitu sebagai berikut
|b| = √[(-1)2 + (-2)2 + (3)2]
|b| = √(1 + 4 + 9)
|b| = √14
Besar perkalian titik vektor a . b yaitu sebagai berikut.
a . b = AxBx + AyBy + AzBz
a . b = (4)(-1) + (3)(-2) + (-1)(3)
a . b = -4 – 6 – 3
a . b = -13
Karena perkalian titik menghasilkan besaran skalar, maka nilai perkalian titik harus selalu positif, sehingga
a . b = 13
Dengan memakai perkalian titik, maka sudut antara vektor a dan b yaitu sebagai berikut.
a . b = |a||b| cos θ
13 = (√26)(√14) cos θ
13 = √364 cos θ
13 = 19 cos θ
cos θ = 13/19
cos θ = 0,68
θ = arc cos 0,68
θ = 47o
5. Diketahui vektor a, b, dan c ibarat pada gambar di bawah ini. Besar vektor-vektor tersebut masing-masing 3, 4, dan 5 satuan. Tentukanlah:
a) a . b
b) a . c
c) b . c
Jawab:
a) a . b = |a||b| cos γ
⇒ a . b = (3)(4) cos 90o
⇒ a . b = (12)(0)
⇒ a . b = 0
b) a . c = |a||c| cos (180o – β)
⇒ a . c = |a||c| (-cos β)
⇒ a . c = (3)(5)(-3/5)
⇒ a . c = (15)(-3/5)
⇒ a . c = -9
c) b . c = |b||c| cos (180o – α)
⇒ b . c = |b||c| (-cos α)
⇒ b . c = (4)(5)(-4/5)
⇒ b . c = (20)(-4/5)
⇒ b . c = -16
6. Diketahui tiga vektor berikut.
x = 2i + 3j
y = 3i + 2j
z = i + j + k
Hitunglah:
a) x . x
b) (x + y) . z
Jawab:
a) x . x = (2i + 3j) . (3i + 2j)
⇒ x . x = (2)(3) + (3)(2)
⇒ x . x = 6 + 6
⇒ x . x = 12
b) Pertama kita tentukan dahulu operasi penjumlahan yang berada di dalam tanda kurung, yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y = (2i + 3j) + (3i + 2j)
⇒ x + y = 5i + 5j
Lalu jadinya kita kalikan dengan vektor z, yaitu sebagai berikut.
(x + y) . z = (5i + 5j) . (i + j + k)
(x + y) . z = (5)(1) + (5)(1) + (0)(1)
(x + y) . z = 5 + 5 + 0
(x + y) . z = 10