Perkalian Vektor: Macam-Macam, Sifat, Rumus, Rujukan Soal Dan Pembahasan
Dalam artikel wacana pengertian, gambar, notasi dan sifat-sifat vektor, telah disebutkan bahwa salah satu sifat vektor yaitu dapat dikalikan. Jika pada artikel-artikel sebelumnya telah dibahas mengenai cara memilih resultan vektor hasil penjumlahan dan pengurangan baik dengan metode grafis maupun metode analisis, maka dalam artikel ini akan kita bahas mengenai perkalian vektor. Untuk memahami wacana perkalian vektor simak klarifikasi berikut ini.
Macam-Macam Perkalian Vektor
Operasi vektor tidak hanya terbatas pada penjumlahan dan pengurangan vektor saja operasi perkalian juga berlaku untuk vektor. Lalu apa saja jenis-jenis perkalian vektor itu? Dalam fisika, perkalian vektor dibedakan menjadi 3 macam yaitu:
1. Perkalian Vektor dengan Skalar
2. Perkalian Titik (Dot Product)
3. Perkalian Silang (Cross Product)
Ketiga jenis perkalian tersebut mempunyai aturan, rumus serta sifat yang berbeda-beda. Untuk memahami mengenai tiga macam perkalian vektor tersebut, lanjutkan menyimak klarifikasi dibawah ini.
1. Perkalian Vektor dengan Skalar
Untuk memahami mengenai perkalian vektor, kita ambil pola ibarat berikut
Seorang anak sedang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 50 km/jam ke arah utara. Maka sesudah beberapa waktu, anak dan motor tersebut telah mengalami perpindahan. Kita tahu bahwa kecepatan ialah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian ini maka besar perpindahan yang dialami si anak sanggup dihitung dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
s = vt |
Keterangan: | |
s | = perpindahan (m) |
v | = kecepatan (m/s) |
t | = selang waktu (s) |
kita tahu bahwa kecepatan ialah besaran vektor sedangkan waktu ialah besaran skalar. Berdasarkan persamaan di atas, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang termasuk besarn vektor. Dari hasil ini sanggup disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian antara vektor dan skalar ialah vektor. |
Secara matematis, perkalian vektor dengan skalar mempunyai arti yang sederhana. Misalkan hasil kali antara skalar k dengan sebuah vektor A menghasilkan vektor B, maka hukum perkalian tersebut dituliskan sebagai berikut:
B = kA
Dari persamaan tersebut, maka besar vektor B besarnya ialah besar k dikalikan dengan besar A. Dan arah vektor B searah dengan vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan A jika k negatif.
Perkalian Vektor Satuan dengan Skalar
Aturan di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar baik secara dua dimensi maupun tiga dimensi. Aturannya ialah sebagai berikut:
2 Dimensi | 3 Dimensi | ||
r | = xi + yj | r | = xi + yj + zk |
kr | = kxi + kyj | kr | = kxi + kyj + kzk |
Sifat Perkalian Vektor dan Skalar
Perkalian antara vektor dengan skalar mempunyai sifat distributif yaitu:
k(A + B) = kA + kB
Contoh Soal Perkalian Vektor dan Skalar dan Pembahasannya
Diketahui suatu vektor A digambarkan sebagai berikut
Gambarlah vektor B, jika:
B = 2A; B = -2A; B = ½A; B = -½A
Jawab
 |  |
B = 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A | B = - 2A, berarti panjang vektor menjadi dua kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A |
 |  |
B = ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula dan arahnya sama dengan arah vektor A | B = - ½A, berarti panjang vektor menjadi setengah kali panjang semula tetapi arahnya berlawanan dengan arah vektor A |
2. Perkalian Titik (Dot Product)
Untuk memahami wacana perkalian titik, perhatikan gambar di bawah ini
Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
Perkalian titik dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A . B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang searah vektor A.pada gambar di atas, komponen vektor B yang searah vektor A adalah B cos α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian titik antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
A . B = AB cos α = |A||B| cos α |
Keterangan: | |
α | = sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o |
A | = |A| besar vektor A |
B | = |B| besar vektor B |
Dari definisi perkalian titik tersebut sanggup disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian titik dua buah vektor ialah skalar. |
Simbol dari perkalian titik ialah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karena hasil perkalian ialah skalar maka perkalian titik disebut juga dengan scalar product.
Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:
1. | Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka |
A . B = 0 → cos 90o = 0 | |
2. | Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka |
A . B = AB → cos 0o = 1 | |
3. | Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α = 180o) maka |
A . B = - AB → cos 180o = -1 |
Perkalian Titik Pada Vektor Satuan
Perhatikan gambar di atas, vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o dan nilai ketiga vektor tersebut ialah 1. Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut ialah sebagai berikut:
i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit) |
i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus) |
Dengan memakai hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:
A . B | = | (Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk) |
A . B | = | Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk + Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk |
→ alasannya i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka | ||
A . B | = | Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk |
A . B | = | Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk |
→ alasannya i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka | ||
A . B | = | AxBx + AyBy + AzBz |
Sifat Perkalian Titik
Perkalian titik mempunyai sifat distributif, yaitu:
A.(B + C) = A.B + A.C
Dan juga mempunyai sifat komutatif, yaitu:
A.B = B.A
Contoh Soal Perkalian Titik dan Pembahasannya
Sebuah vektor gaya dan perpindahan mempunya persamaan F = (2i + 3j + 5k) N dans = (4i + 2j – k) m. tentukan perjuangan yang dilakukan oleh gaya!
Jawab:
Diketahui:
F = (2i + 3j + 5k)
s = (4i + 2j – k)
ditanya: perjuangan (W)
Usaha merupakan hasil perkalian titik antara gaya dengan perpindahan, jadi
W = F . s
W = (2i + 3j + 5k) . (4i + 2j – k)
W = (2)(4) + (3)(2) + (5)(-1)
W = 8 + 6 – 5
W = 9
Jadi perjuangan yang dilakukan oleh gaya tersebut ialah 9 joule.
3. Perkalian Silang (Cross Product)
Untuk memahami wacana perkalian silang, perhatikan gambar di bawah ini
Perkalian silang dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A x B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
Perkalian silang dua buah vektor antara A dan B atau dituliskan A x B didefinisikan sebagai perkalian antara vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus vektor A. pada gambar di atas, komponen vektor B yang tegak lurus vektor A adalah B sin α. Dari definisi tersebut, secara matematis perkalian silang antara vektor A dan B dapat dituliskan dengan rumus atau persamaan sebagai berikut:
A x B | = C | ||
|A x B| | = AB sin α |
Keterangan: | |
α | = sudut yang dibuat oleh vektor A dan B dengan 0o ≤ α ≤ 180o |
C | = vektor lain hasil perkalian silang antara vektor A dan B |
|A x B| | = besar vektor hasil perkalian silang antara vektor A dan B |
Dari definisi perkalian silang tersebut sanggup disimpulkan bahwa:
Hasil perkalian silang dua buah vektor ialah sebuah vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang yang dibuat oleh A da B. |
Untuk lebih memahami wacana arah vektor hasil perkalian silang perhatikan tabel klarifikasi di bawah ini
Arah Hasil Perkalian Silang A x B | Arah Hasil Perkalian Silang B x A |
 |  |
Arah dari vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibuat oleh vektor A dan B. Untuk menawarkan arah vektor C, kita gunakan kaidah ajun dimana ujung vektor A menuju ujung vektor B searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menawarkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang A x B arahnya menuju ke atas tidak menembus bidang. | Sama halnya dengan arah hasil perkalian silang A x B. Kita juga sanggup memakai kaidah tangan kanan, namun bedanya genggaman tangan dibalik, dimana ujung vektor B menuju ujung vektor A searah dengan lipatan empat jari sedangkan jempol menawarkan arah vektor C. Pada gambar di atas, vektor C hasil perkalian silang B x A arahnya menuju ke bawah menembus bidang. |
Dalam perkalian silang, ada 5 poin penting yang perlu diingat, yaitu:
1. | Pada perkalian silang tidak berlaku sifat komutatif sehingga |
A x B ≠ B x A | |
2. | Pada perkalian silang berlaku sifat anti komutatif yaitu |
A x B = - B x A | |
3. | Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka |
|A x B| = AB → sin 90o = 1 | |
4. | Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka |
|A x B| = 0 → sin 0o = 0 | |
5. | Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α= 180o) maka |
|A x B| = 0 → sin 180o = 0 |
Perkalian Silang Pada Vektor Satuan
vektor satuan i, j, dan k masing-masing bernilai 1. Hasil perkalian silang pada vektor satuan yang sama adalah sebagai berikut:
i x i = 1.1 sin 0o = 0 |
j x j = 1.1 sin 0o = 0 |
k x k = 1.1 sin 0o = 0 |
Untuk hasil perkalian silang pada vektor satuan yang berbeda kita gunakan siklus berikut:
Dengan memakai hasil perkalian silang pada vektor satuan dan juga siklus di atas, kita sanggup mencari hasil perkalian silang suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
Hasil perkalian silang antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:
A x B | = | (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) |
A x B | = | Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk |
→ alasannya i x i = j x j = j x k = 1x1 sin 0o = 0 maka | ||
A x B | = | 0 + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + 0 + Ayj x Bzk + Azk x Bxi +Azk x Byj + 0 |
A x B | = | Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj |
→ dengan memakai siklus perkalian silang maka | ||
A x B | = | AxByk – AxBzj – AyBxk + AyBzi + AzBxj – AzByi |
A x B | = | (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k |
Selain memakai siklus perkalian silang di atas, untuk mempermudah mengingat rumus kita sanggup menggunakan metode determinan seperti berikut ini:
A x B | = |
| |
A x B | = | (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k |
Sifat Perkalian Silang
Perkalian silang mempunyai sifat antikomutatif, yaitu
A × B ≠ B × A
Perkalian silang mempunyai sifat asosiatif, yaitu
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB)
Dan terakhir, perkalian silang mempunyai sifat distributif, yaiut
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C)
Contoh Soal Perkalian Silang dan Pembahasannya
Sebuah gaya dengan persamaan F = (i + 2j – k) N bekerja pada daun pintu. Jika dilihat dari sebuah engsel, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi r = (0,8i + 0,2j) m. Tentukan persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut.
Jawab:
Diketahui:
F = (i + 2j – k) N
r = (0,8i + 0,2j) m
Ditanyakan : momen gaya (τ)
Momen gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor posisi dengan gaya. Jadi:
τ = r x F
τ = (0,8i + 0,2j) x (i + 2j – k)
τ = (0,8)(1)(i x i) + (0,8)(2)(i x j) + (0,8)(-1)(i x k) + (0,2)(1)(j x i) + (0,2)(2)(j x j) + (0,2)(-1)(j x k)
τ = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i
τ = -0,2i + 0,8j + 1,4k
jadi, persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut adalah τ = (-0,2i + 0,8j+ 1,4k) Nm.
Demikianlah artikel wacana pengertian, sifat, rumus, hukum dan pola soal beserta pembahasannya terkait dengan perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik dan perkalian silang. Semoga sanggup bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan hingga jumpa di artikel berikutnya.